Complétion de séries temporelles multi-variées en grande dimension

Soit le modèle de complétion :

où $Y_1,\dots <!--FUNCTION\; APPLICATION-->,Y_n$ désignent $n$ entrées de la matrice $X=M_{k,\tau }+𝜖$ dont les lignes sont des séries temporelles, $𝜖$ est une matrice aléatoire centrée dont les lignes sont indépendantes, $(U_1,{\xi }_1),\dots <!--FUNCTION\; APPLICATION-->,(U_n,{\xi }_n)$ sont $n$ variables aléatoires i.i.d à valeurs dans $M_{d,T}\left(ℝ\right)\times ℝ$ et indépendantes de $𝜖$, et $U_i$ est indépendante de ${\xi }_i$ pour tout $i\in \{1,\dots <!--FUNCTION\; APPLICATION-->,n\}$. Le paramètre $k$ est le rang de $M_{k,\tau }$ et $\tau$ est un paramètre caractérisant une propriété spécifique à la tendance d’une série temporelle comme la $\tau$-périodicité. Enfin, notons que les ${\xi }_i$ sont les erreurs d’observation liées à l’instrument de mesure, tandis que $𝜖$ est la composante stochastique de $X$.

Sous l’hypothèse que les lignes de $𝜖$ sont issues d’un processus $\varphi$-mélangeant, nous établirons un contrôle en $O\left(k\right(d+\tau )\log <!--FUNCTION\; APPLICATION-->(n)∕n)$ du risque quadratique de l’estimateur des moindres carrés ${\widehat{M}}_k$ de $M_{k,\tau }$. La structure de série temporelle permet d’améliorer le contrôle en $O\left(k\right(d+T)\log <!--FUNCTION\; APPLICATION-->(n)∕n)$ établi dans Koltchinskii et al. (2011). Nous démontrerons alors une inégalité d’oracle pour l’estimateur adaptatif ${\widehat{M}}_{\widehat{k}}$, où $\widehat{k}$ est sélectionné en pénalisant la fonction de perte quadratique par un terme en $O\left(k\right(d+\tau )\log <!--FUNCTION\; APPLICATION-->(n)∕n)$.

Des expériences numériques seront présentées en fin d’exposé.

Il s’agit d’un travail en collaboration avec Pierre Alquier et Nicolas Marie.